LEO-satelliet

maximumscore 4

voorbeeld van een antwoord: Er geldt: $F_{mpz}=F_{g}$ met $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ en $F_{g}=G\frac{mM}{r^{2}}$. Invullen en omschrijven geeft: $v^{2}=\frac{GM}{r}$, dus $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$. Er geldt: $E_{t}=E_{k}+E_{g}$, waarbij $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ met $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ en $E_{g}=-G\frac{mM}{r}$. Invullen en omschrijven geeft: $E_{t}=\frac{1}{2}G\frac{mM}{r}-G\frac{mM}{r}=-\frac{1}{2}G\frac{mM}{r}$.

• inzicht dat $F_{mpz}=F_{g}$ [1]
• gebruik van $F_{mpz}=\frac{mv^{2}}{r}$ en $F_{g}=G\frac{mM}{r^{2}}$ [1]
• gebruik van $E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$ en $E_{g}=-G\frac{mM}{r}$ [1]
• completeren van de afleidingen [1]

maximumscore 3

voorbeeld van een antwoord: Voor de snelheid van de satelliet geldt: $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$. Opzoeken van de waarden van $G$, $M$ en $r$, met $r$ gelijk aan de straal van de aarde plus de hoogte van de satelliet, en invullen geeft: $v=\sqrt{\frac{6,674\cdot10^{-11}\cdot5,972\cdot10^{24}}{6,371\cdot10^{6}+425\cdot10^{3}}}=7,658\cdot10^{3} \text{ m s}^{-1}$. (Op een hoogte van 425 km heeft de LEO-satelliet dus een snelheid van $7,658 \text{ km s}^{-1}$)

• gebruik van $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$, met opzoeken van $G$ en $M$ [1]
• inzicht dat $r=R_{aarde}+h$ met opzoeken van $R_{aarde}$ [1]
• completeren van de berekening [1]

maximumscore 4

uitkomst: $0,43 \text{ J s}^{-1}$

voorbeeld van een antwoord: Voor het energieverlies per seconde geldt: $P=Fv$. Het energieverlies wordt veroorzaakt door de wrijving: $F_{w}=\frac{1}{2}\rho c_{w}Av^{2}$. Combineren van deze formules geeft: $P=\frac{1}{2}\rho c_{w}Av^{3}$. De dichtheid van de lucht op 425 km hoogte is $2,28\cdot10^{-12} \text{ kg m}^{-3}$. Invullen van de gegevens levert: $P=\frac{1}{2}\cdot2,28\cdot10^{-12}\cdot2,2\cdot0,385\cdot(7,658\cdot10^{3})^{3}=0,43 \text{ J s}^{-1}$.

• gebruik van $P=Fv$ [1]
• gebruik van $F_{w}=\frac{1}{2}\rho c_{w}Av^{2}$ [1]
• bepalen van $\rho$ tussen $2,26\cdot10^{-12} \text{ kg m}^{-3}$ en $2,30\cdot10^{-12} \text{ kg m}^{-3}$ [1]
• completeren van de berekening [1]

maximumscore 3

voorbeeld van een antwoord: $\frac{dE_{t}}{dr}=\frac{1}{2}GmMr^{-2}$ ($G$, $m$, $M$ en $r$ zijn positief, dus) $\frac{dE_{t}}{dr}$ is positief. Door wrijving neemt $E_{t}$ af, dus $dE_{t}$ is negatief. Hieruit volgt dat $dr$ negatief is. (Dus door de wrijving neemt de hoogte van de satelliet af.)

• noteren van de afgeleide van $E_{t}(r)$ [1]
• inzicht dat door wrijving de totale energie afneemt [1]
• inzicht dat $\frac{dE_{t}}{dr}$ positief is en dat $dr$ dus hetzelfde teken heeft als $dE_{t}$ [1]

maximumscore 4

uitkomst: $61 \text{ m}$ (met een marge van $10 \text{ m}$)

voorbeeld van een antwoord: Het hoogteverlies per dag is gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek bij $h=425 \text{ km}$. Tekenen van de raaklijn en bepalen van de helling levert: $(\frac{\Delta h}{\Delta t})_{\text{raaklijn}}=\frac{450,0-399,5}{60,0-7,0}=0,953 \text{ km dag}^{-1}$. De omlooptijd van de satelliet kan berekend worden met $v=\frac{2\pi r}{T}$, met $r=R_{aarde}+h$. Invullen en uitwerken levert: $T=\frac{2\pi\cdot(6,371\cdot10^{6}+425\cdot10^{3})}{7,658\cdot10^{3}}=5,576\cdot10^{3} \text{ s}=6,454\cdot10^{-2} \text{ dag}$. Dus het hoogteverlies per omwenteling is $0,953\cdot6,454\cdot10^{-2}=6,15\cdot10^{-2} \text{ km} = 61 \text{ m}$.

• inzicht dat de steilheid van het diagram bij $h=425 \text{ km}$ bepaald moet worden [1]
• gebruik van $v=\frac{2\pi r}{T}$ met $r=R_{aarde}+h$ [1]
• inzicht dat $\frac{\Delta h}{\Delta t}$ vermenigvuldigd moet worden met de omlooptijd [1]
• completeren van de bepaling en significantie [1]

Opmerking Als de kandidaat bij vraag 21 het inzicht dat $r=R_{aarde}+h$ niet heeft getoond of hierin een rekenfout heeft gemaakt en dit antwoord opnieuw gebruikt, dan dit bij deze vraag niet opnieuw aanrekenen.

maximumscore 2

voorbeeld van een antwoord: Omdat de hoogte $h$ afneemt, neemt ook de straal $r$ af. ($G$ en $M$ zijn constant,) dus volgens de formule $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ neemt de snelheid toe.

• inzicht dat de straal afneemt [1]
• gebruik van formule (1) en consequente conclusie [1]