Treinwielen

Een trein blijft nooit precies in het midden van het spoor rijden. Er is ruimte tussen de wielen en het spoor waardoor de trein enigszins heen en weer kan slingeren. Om te voorkomen dat treinen ontsporen zijn de wielen als volgt ontworpen: 1 Beide wielen zitten vast aan dezelfde as. De wielen en de as vormen een star geheel. 2 Beide wielen hebben een conische vorm: de diameter van het wiel is aan de binnenkant groter dan aan de buitenkant. Zie figuur 1.

Een as die zich niet precies in het midden van het spoor bevindt zal door deze constructie van de wielen tijdens het rijden vanzelf terug naar het midden bewegen. In figuur 2 is een schematisch bovenaanzicht van de treinwielen weergegeven op verschillende tijdstippen $(a \ t/m \ e)$. Op tijdstip $a$ staat de as uit het midden. Even later is de as enigszins geroteerd en beweegt richting het midden van het spoor. Zie tijdstip $b$. Vervolgens schiet de as een stukje door, zie tijdstip $c$, waarna aan de andere kant hetzelfde effect optreedt. De trein gaat dus een slingerende zijwaartse beweging uitvoeren. Hij "waggelt" een beetje over het spoor. Men noemt deze golfbeweging de sinusloop.

Leg uit hoe de ontwerpkenmerken 1 en 2 er samen voor zorgen dat een rijdende trein de sinusloop van figuur 2 zal uitvoeren.

Voor de golflengte van de sinusloop geldt de formule van Klingel:

$$\lambda=2\pi\sqrt{\frac{d r_{0}}{2\gamma}}$$

Hierin is:

• $\lambda$ de golflengte van de sinusloop in m
• $d$ de afstand tussen de twee spoorrails in m
• $r_{0}$ de gemiddelde straal van het wiel in m, dus gemeten in het midden van het loopvlak
• $\gamma$ de wielbandconiciteit

De wielbandconiciteit is een maat voor het verschil tussen binnen- en buitendiameter van een wiel.

Toon aan dat de wielbandconiciteit geen eenheid heeft.

In Nederland gelden de volgende gegevens: Treinen rijden meestal met een snelheid van $140 \text{ km/h}$. De afstand tussen twee spoorrails is $1435 \text{ mm}$. De waarde van de wielbandconiciteit is $0,050$. De gemiddelde diameter van een treinwiel is $95 \text{ cm}$.

Toon aan dat de periode van de sinusloop bij deze snelheid $0,42 \text{ s}$ is.

Om in de wagon geen last te hebben van oneffenheden op het spoor zijn er veren geplaatst tussen de wagon en de wielen. We kunnen het geheel benaderen als een massa-veersysteem. Zie figuur 3.

Bij een bepaalde snelheid gaat het massa-veersysteem resoneren met de sinusloop. Om comfortabel te rijden bij een snelheid van $140 \text{ km/h}$ wordt de totale veerconstante van de veren zo gekozen dat het massaveersysteem een eigentrilling heeft die sterk afwijkt van $0,42 \text{ s}$.

Voor het massaveersysteem van de wagon met wielen geldt: $m_{wagon}=21,5\cdot10^{3} \text{ kg}$ $C_{totaal}=1,0\cdot10^{5} \text{ N m}^{-1}$

Bereken de snelheid waarbij resonantie optreedt.