Domino-effect

Een rij dominostenen wordt achter elkaar gezet. Vervolgens wordt de eerste dominosteen omgeduwd, waarna de rest van de rij (als het goed is) ook omvalt. Dit wordt het domino-effect genoemd, waarbij kleine dominostenen ook grotere kunnen omduwen.

Deze opgave gaat over dit domino-effect, waarbij we dominostenen bekijken die telkens 1,5 keer zo hoog zijn als de voorgaande steen.

Een Amerikaan beweert dat wanneer de $13^{e}$ dominosteen 1 meter hoog is, de $29^{e}$ dominosteen hoger is dan het Empire State Building. Het Empire State Building is een wolkenkrabber in New York, met een hoogte van 381 meter.

Ga met een berekening na of deze Amerikaan gelijk heeft.

In figuur 1 zie je een zijaanzicht van drie dominostenen. We nemen in het vervolg van deze opgave het volgende aan:

1. De hoogte van de eerste dominosteen is 48 mm.
2. De dikte van de eerste dominosteen is 7,5 mm.
3. Iedere volgende dominosteen is 1,5 keer zo hoog en 1,5 keer zo dik als de voorgaande.
4. Iedere dominosteen valt tegen het midden van de volgende dominosteen.

Als de dominostenen op een rij worden gezet, dan krijgt de kleinste steen nummer 1, de volgende steen nummer 2, enzovoorts. Doordat de eerste dominosteen tegen het midden van de tweede steen moet vallen, ligt de afstand $L_{1}$ vast. Zie figuur 2.

Voor de dominostenen 1 en 2 is deze afstand te berekenen met de formule $L_{1}=\sqrt{{h_{1}}^{2}-(0,5 \cdot h_{2})^{2}}$. Hierbij is $L_{1}$ de afstand tussen dominostenen 1 en 2, $h_{1}$ de hoogte van dominosteen 1 en $h_{2}$ de hoogte van dominosteen 2, alle in mm.

Bereken de afstand tussen dominosteen 1 en 2 in gehele mm.

Voor de hoogte van dominosteen 2 geldt $h_{2}=1,5 \cdot h_{1}$. Door dit in te vullen in de formule $L_{1}=\sqrt{{h_{1}}^{2}-(0,5 \cdot h_{2})^{2}}$ is de afstand $L_{1}$ ook te schrijven als $L_{1}=a \cdot h_{1}$. De waarde van $a$ is afgerond op twee decimalen 0,66.

Herleid de formule $L_{1}=\sqrt{{h_{1}}^{2}-(0,5 \cdot h_{2})^{2}}$ tot $L_{1}=a \cdot h_{1}$ en geef de waarde van $a$ in drie decimalen.

In figuur 3 zie je de algemene situatie. Er geldt (voor $n \ge 2$):

• $h_{n}=48 \cdot 1,5^{n-1}$, met $h_{n}$ de hoogte in mm
• $d_{n}=7,5 \cdot 1,5^{n-1}$ met $d_{n}$ de dikte in mm
• $L_{n}=0,66 \cdot h_{n}$, met $L_{n}$ de afstand in mm tussen dominosteen $n$ en de dominosteen links daarvan
• $A_{n}=L_{n-1}+d_{n}$

Uit bovenstaande gegevens volgt (voor $n \ge 2$):

Toon dit aan.

In het televisieprogramma MythBusters werd een experiment bedacht waarbij na het omduwen van de eerste dominosteen uiteindelijk dominosteen nummer 12 op een auto valt. Om het experiment uit te voeren werd een 15 meter lange parkeerplaats gebruikt.

Onderzoek of deze parkeerplaats lang genoeg is om het experiment uit te voeren.